En cálculo, el concepto de límites nos brinda un conocimiento profundo que proporciona la base tanto para la integración como para la diferenciación. Este concepto nos dice cómo se comportan las funciones cuando se aproximan a valores específicos.
Teniendo en cuenta este concepto, podemos identificar la relación de unas cantidades con otras en términos de su dominio. En otras ramas de las matemáticas, como topología, secuencia, serie y muchas otras; el concepto de límites nos brinda conocimientos precisos para interpretar diferentes valores a medida que se acercan a puntos particulares.
En este artículo, profundizaremos en la discusión detallada sobre los límites, su definición, propiedades, ejemplos y aplicaciones. Teniendo en cuenta este concepto, podemos interpretar todos los problemas de una manera muy precisa.
Definición de límite
Formalmente, el límite de una función se define como para una función arbitraria f(x), cuando el valor de ‘x’ se acerca a un valor particular ‘ c’ , se vuelve igual a ‘L’.
Se denota como sigue:
Lim x → c f(x) = L
Esto significa que a medida que ‘x’ tiende a acercarse cada vez más a ‘c’ (pero no igual a c), los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a ‘L’. En otras palabras; ‘L’ es el valor al que la función «se acerca» o «tiende» a medida que x se acerca cada vez más a ‘c’.
Propiedades de los límites
El concepto de límite es muy útil en muchos campos de las matemáticas. A medida que esto se vuelve más efectivo, las diferentes propiedades del límite facilitan el camino. Aquí discutiremos algunas propiedades básicas para elaborar este concepto de manera más concisa.
Propiedad constante:
Para cualquier función, digamos que una función consta solo de un término constante, entonces Lim ( x→ a) procederá de la siguiente manera:
Lim x→ a (c) = c
Propiedad de identidad:
Para una función que consta de un solo término lineal, significa una función identidad, entonces Lim ( x→ a) procede de la siguiente manera:
Lim x→ a (x) = c
Propiedad de adición:
Para dos funciones cualesquiera, digamos m(x) y l(x), el límite se aplica de la siguiente manera:
Lim x→ a [m(x)+l(x)] = Lim x→ a [m(x)] + Lim x→ a [l(x)]
Propiedad de resta:
Para dos funciones cualesquiera, digamos m(x) y l(x), el límite se aplica de la siguiente manera:
Lim x→ a [ m (x) – l(x) ] = Lim x→ a [m(x)] – Lim x→ a [l(x)]
Propiedad de coeficientes:
Para una función que consta de un coeficiente, el límite se aplica de la siguiente manera:
Lim x→ a [k(x)] = k Lim x→ a [x]
Propiedad del producto:
Para dos funciones cualesquiera dadas como producto, digamos m (x) y l (x), entonces la propiedad del producto del límite es la siguiente:
Lim x→ a [ m (x) * l(x) ] = Lim x→ a [m(x)] * Lim x→ a [l(x)]
Propiedad del cociente:
Para dos funciones cualesquiera dadas como fracciones (una función que consta de denominador y numerador), la propiedad del límite del cociente se aplica de la siguiente manera:
Lim x→ a [ m (x) / l(x) ] = Lim x→ a [m(x)] / Lim x→ a [l(x)]
Propiedad exponente:
Para cualquier función exponencial, el límite se aplica de tal forma:
Lim x→ a [ m (x) ] n = [Lim x→ am(x)] n
Aquí ‘n’ es cualquier exponente.
¿Cómo resolver problemas de límites?
A continuación se muestran algunos métodos para calcular limites.
- Uno de los métodos para resolver el límite es el método de sustitución. En esto, el límite de f(x) en el que “x” está cerca de “a”, podemos calcular el límite sustituyendo x=a para que podamos decir que el valor límite es f(a).
- Factorizar la función es el segundo método para evaluar el límite. Este método se utiliza perfectamente en aquellas condiciones en las que la sustitución directa no es una solución, si se aplica no podemos encontrar el resultado. Por ejemplo;
Lím x→ 2 [(x 2 – 4)/(x–2) ]. Si sustituimos directamente x=2 entonces nuestra salida es 0/0. En esto tenemos que factorizar primero (x 2 – 4 )= ( x + 2 )( x – 2 ). Al final, encontraremos el resultado de la siguiente manera:
Lím x→ 2 (x+2) = 2+2 = 4
Ejemplos
Ejemplo 1:
Evaluar: Lim x → 4 (5x 3 +14x 2 +2)
Solución:
Lim x→ 4 (x 3 +4x 2 +23) = 5 Lim x→ 4 (x 3 ) + 14 Lim x→ 4 (x 2 ) + Lim x→ 4 (2)
∵ Por propiedad del exponente 5 Lím x→ 4 (x 3 ) = 5(4) 3
∵ Por propiedad del coeficiente Lim x→ 4 (4x 2 ) = 14(4) 2
∵ Por propiedad constante Lim x→ 4 (23) = 2
= 5 (4) 3 + 1 4 (4) 2 + 2
= 5(64) + 14(16) + 2
= 320 + 224 +2
= 546
Ejemplo 2:
Evaluar: Lim x→ 3 [(12 x 4 +7x 2 – x +1)/ (x 4 +1) ]
Solución:
= [ Lim x→ 3(12x 4 ) + Lim x→ 3 (7 x 2 ) + Lim x→ 3 ( – x) + Lim x→ 3 (1)]/ [Lim x→ 3 (x 4 ) + Lim x→ 3 (1)]
∵ Por propiedad del exponente y propiedad del coeficiente Lím x→ 3 (12x 4 ) = 12( 3 ) 4
∵ Por propiedad del exponente Lim x → 3 (7x 2 ) = 7( 3 ) 2
∵ Por propiedad del coeficiente Lim x→ 3 (x) = (3)
∵ Por propiedad constante Lim x→ 3 (1) = 1
∵ Por propiedad del exponente Lim x→ 3 (x 4 ) = ( 3 ) 4
∵ Por propiedad constante Lim x→ 3 (1) = 1
= [1 2( 3 ) 4 + 7 ( 3 ) 2 – 3 + 1]/ [( 3 ) 4 + 1]
= [12(81) + 7(9) – 3 + 1] / [ 81 + 1]
= [972+63 –2]/ 82
= 1033/82
Ejemplo 3:
Evaluar: Lim x→ 0 [( x 3 +4x 2 – 2x +1 )( x+2) ]
Solución:
=Lim x→ 0(x 3 )+ Lim x→ 0 (4 x 2 )+ Lim x→ 0 ( – 2x)+ Lim x→ 0 (1) ][Lim x→ 0 (x)+ Lim x→ 0 (2)]
∵ Por propiedad del exponente Lim x→ 0 (x 3 ) = ( 0 ) 3
∵ Por propiedad del coeficiente Lim x→ 0 (4x 2 ) = 4( 0 ) 2
∵ Por propiedad del coeficiente Lim x→ 0 (2x) = 2(0)
∵ Por propiedad constante Lim x→ 0 (1) = 1
∵ Por propiedad de identidad Lim x→ 0 (x) = 0
∵ Por propiedad constante Lim x→ 0 (2) = 2
= [ ( 0 ) 3 + 4 ( 0 ) 2 – 2(0) + 1] [0+2]
= 1/2
Conclusión
En este artículo, hemos discutido en detalle el concepto de límites. También se ha descrito un término estrechamente relacionado, continuidad de función, junto con tipos y reglas. Los límites en cálculo son un tema clave para comprender la ingeniería y otros campos.
Dos de sus métodos ayudarán a encontrar la salida rápida de una función. Comprender sus diferentes ejemplos será útil al resolver diferentes tipos de problemas. Después de comprender el concepto completo, se pueden resumir los problemas pertinentes.
